Traduction de l’article « PITÁGORAS: El
número, música y proporción »
ATILANO, Daniel, PITÁGORAS:
El número, música y proporción Revue de
l’Université Catholique Santa Rosa, N° 2 Caracas,Venezuela. (2009)
Juin
2011
Traduction
de l’article en espagnol: « PITÁGORAS: El número, música y
proporción » (PYTHAGORE: Le numéro, la musique et la proportion), publié en 2009 dans la revue Numéro 2
de l’Université Catholique Santa Rosa (Caracas-Venezuela).
Auteur : Daniel ATILANO, Architecte et Maitre Scientiarum en Musicologie Latino-Américaine. Professeur
de composition à l’Ecole de Musique Ars Nova en collaboration avec le Dr.
Alvaro Cordero Saldivia. Doctorant d’Architecture de la Faculté d’Architecture et
d’Urbanisme de l’Université Centrale de Venezuela et coordinateur pédagogique
de l’enseignement de la musique à l’Ecole Intégral Avila de Caracas.
PYTHAGORE: Le numéro,
la musique et la proportion.
RESUME
L’influence de la pensée
philosophique de Pythagore, qui se base sur le "nombre comme l’essence de
toutes les choses", a eut une grande
répercussion dans tous les domaines de la pensée occidentale. L'objectif
de cet article est d’explorer la relation entre la proportion, la musique et la géométrie liée à
une conception mystico-religieuse, afin de comprendre l'idée du nombre dans la
pensée Pythagorique à travers une travail documentaire sur l'évolution de son
influence en occident.
Mots clés Pythagore,
nombre, proportion, musique, tetractys, mystique – religieux.
On ne
peut contester l'influence de Pythagore dans la pensée mathématique et
philosophique de la Grèce
antique et de la culture occidentale. En définissant le nombre comme l'essence de
toutes les choses il proposa dans le même temps une méthode de spéculation
philosophique et mathématique. Il prétendait atteindre l'harmonie entre l'homme
et l'univers à travers un ordre naturel des choses qui émanait du Dieu suprême,
organisateur du cosmos (González, 2006, p. 5).
À travers cette méthode basée sur
le nombre, il a réussit à unir une pensée scientifico-rationnelle à une conception
mystico-religieuse qui expliquait l'existence et la relation entre l'homme et
l'univers. Cette méthode de recherche scientifique permettait de relier l'idée du nombre et de la
proportion dans le son de la
musique, et établissait ainsi les bases de la science
et de l'esthétique dans l'occident
La vie et l'œuvre de Pythagore
est couverte d'incertitude et de légendes. Il existe des
doutes autour de sa naissance,
ses doctrines et l'authenticité de son travail. Certains
croient qu’il n’a pas existé, car
il n’a laissé aucune
œuvre écrite, et sa vie, ainsi
que celle de ses disciples, était
entourée d'un mysticisme qui a
été associée à l'orphisme
On pense qu'il est né à
Samos et que le point culminent de sa vie et de son travail fut vers 532 avant
JC. On le retrouve comme fils de Mnesarco et Ferénides ainsi qu’étudiant
d'Anaximandre. Apparemment, il visita l'Egypte, où il fit la connaissance de la
doctrine de ce pays. Plus tard, il fonda en Crotone, une colonie dorienne de la Magna Grèce, située
sur la côte sud de l'Italie, en 530 avant JC. C’était une communauté
politico-religieuse qui suscita l'hostilité des politiciens de l'époque.
Finalement il s’enfuit à Metaponto où il mourut (Ferrater, 2004, p. 2790).
Son nom prit une grande importance
historique après avoir été mentionné par Platon (La
République, Xe Livre), Aristote (Métaphysique) et servi de base à plusieurs théorèmes d'Euclide.
Sa doctrine contemplait plusieurs
aspects mystiques comme la transmigration des âmes, la parenté de tous les
êtres vivants, l'existence d'un Dieu unique et un ensemble de règles et de
prohibitions dirigés principalement vers les adeptes externes de la communauté.
Les adeptes de Pythagore étaient divisés
en deux groupes internes conformément à ses enseignement : les Mathématiciens (les
informés), des jeunes doués dans la pensée abstraite et la connaissance
scientifique, disciples initiés (les ésotériques) et les Acousmatiques (les
auditeurs), des hommes simples et sensibles, qui reconnaissaient la vérité de manière
intuitive, à travers des dogmes, des croyances, des sentences orales indémontrables,
des principes moraux et des aphorismes. Cela étaient des exotériques.
Les deux tendances, la rationnelle et la
religieuse, généreront la vision qui existera dorénavant sur Pythagore et qui servira
de modèle à de nombreux mouvements durant les siècles qui suivront.
Les premiers adeptes de Pythagore
appelés "les vieux pythagoriciens" sont ceux qui ont suivi les
tendances mystico-religieuses et les tendances scientifico-rationnelles. On
peut citer parmi eux Philolaos,
Acquittas et Alcmeón, mais aussi Kerkops, Pétrone, Brontino, Hipaso, Califón,
Demoquedes, Parmenisco, Oquelos, Timeo, Hiqueto, Ekfanto, Eurito, Simias, Cebes,
Ejecrates, Arion et Lisis (Ferrater, 2004, p. 2792).
À partir du 1er siècle avant J.C. le
pythagorisme se renouvela et exerça une influence considérable sur les trois
siècles suivants, particulièrement sur tout ce qui a trait au domaine mystico-religieux.
Ce renouvellement est connu sous le nom de Néopythagorisme. Ce courant est un mélange des doctrines pythagoriciennes
avec d'autres doctrines comme les platoniciennes, les aristotéliques et
les stoïciennes. Quelques philosophes néopythagoriciens sont Nicómaco de Gerasa
et Numenio de Apamea (Ferrater, 2004, p. 2790).
"Le
nombre est l'essence de toutes les choses"
Pour bien comprendre la signification du
nombre à l’époque de Pythagore, il faudrait faire un grand saut en arrière dans
l’histoire en partant de notre niveau de compréhension d’aujourd’hui. Au cours
de ce retour en arrière nous nous trouverions avec une connaissance très basique
et essentielle du nombre qui, par la suite, a été diluée dans l'histoire ce qui
complique donc la compréhension de la manière de pensée dans l’antiquité. Pour
déchiffrer cette notion nous partirons des premiers registres qui existent sur
cette idée.
Les premières trouvailles de l'idée du
nombre nous révèlent que l'homme n’a pas utilisé beaucoup de mots pour le
définir. Les expressions comme "un", "deux" et
"plusieurs" étaient utilisés avant de développer l'art de compter. Il
est possible que liée à cette idée de nombre, l'homme est aussi utilisé l'idée
de forme. Pour la construction de maisons, de villages, de chemins et pour la
délimitation de territoires, l’homme s'est servi de quelques formes et figures
géométriques de base. Cela a donné naissance aux mathématiques comme l'étude du
nombre, de la quantité et de la forme (Barsa, 1980, p. 208). Plus que le
nombre, il s’agissait d’étudier, en plus de la forme, la proportion la
grandeur, la taille.
L’origine du système de numérotation est
probablement apparue au moment où on a
eu besoin de connaitre la quantité des possessions de chaque personne. Par
exemple, le propriétaire de quelques têtes de bétail ou d'objets similaires,
aurait utilisé « des petits cailloux » qu’il aurait mis dans un sac
pour connaître la quantité d’objets qu’il détenait. De là tire son origine le
mot latin "calculus" utilisé pour dénommer ces cailloux et dont la
signification a changé progressivement jusqu’au terme que nous connaissons aujourd'hui,
et qui représente un aspect des mathématiques : le calcul.
Par la suite l'homme a eu recours aux
doigts de ses mains pour compter (nombres simples) et plus tard à la
représentation par points pour développer finalement les différents systèmes de
représentation numérique (Barsa, 1980, p. 409).
Les pythagoriciens représentaient les
nombres à travers des points ou des petits cailloux sur le sable et ils leur
attribuaient un nombre précis selon sa distribution ou la forme géométrique
qu’ils formaient. En d’autres termes : ils associaient les nombres à des figures
géométriques déterminées qui à l’époque paraissaient être plus développés. Cet
ordre géométrique des nombres est connu sous le nom de nombres polygonaux. On
obtint ainsi les nombres qui seraient dénommés à partir de leur forme : les
Nombres triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, heptagonaux,
octogonales, nonagonales, decagonales, etc. (González, 2006, p. 5).
Cette relation entre le nombre et la
figure géométrique va influencer très fortement la philosophie de Pythagore, en
établissant que "le nombre est l'essence de toutes les choses". Cette
conception a permis de développer une doctrine connue comme le "mysticisme
numérique". Cette doctrine attribuait aux nombres un caractère sacré
chargé de propriétés mystiques et symboliques.
D’autre part, la découverte de la
forme géométrique empirique a donnait
aux nombres des propriétés arithmétiques importantes et des relations
numériques élémentaires qui influenceront le développement postérieur des
mathématiques et qui sont toujours d’actualité (González, 2006, p. 6).
Les deux courants : le mystico-religieux
et le scientifico-rationnel, se retrouveront unifiés dans la pensée
pythagoricienne et seront ensuite développés parallèlement dans le monde grec
et la culture occidentale.
Du courant mystico-religieux surgit la
doctrine des nombres. Les pythagoriciens ont dénommé la Décennie les dix premiers
nombres et leur ont assigné des propriétés cabalistiques et des vertus magiques
au delà de l'arithmétique (aritmologíe). Ils ont établi pour chaque nombre des
attributs spéciaux et des propriétés vitales qui ont été complétées par la
suite par d'autres philosophes comme Platon, Filolao, Aristote, Teón Jámbico,
Porfirio. De là sont apparus les attributs suivants (González, 2006, p. 6) :
1 Mónada, symbole de l'unité et de la raison, du stable.
2 Díada, symbole de la diversité, de l’opinion et de l’opposition, de la
dualité, du féminin.
3 Triade, un symbole de l'harmonie, la perfection, le masculin.
4 Symbole de la justice, une clé de la nature et de l'homme.
5 Symbole du mariage, d’un solide régulier, de triangle mystique, de portée
mystique.
6 Symbole de la procréation, du premier nombre parfait, masculin et
féminin.
7 Symbole de la virginité, de la lumière, de la santé, des jours de la
semaine.
8 Symbole de l'amitié, de la plénitude et de réflexion, du premier nombre cube.
9 Symbole de l'amour et de la gestation.
10 Tetractys, un symbole de Dieu et de l'univers, une somme des dimensions
géométriques, l'échelle musicale, le fondement de tout.
Du courant scientifico-rationnel les
pythagoriciens ont réussi à transformer la géométrie en savoir théorique et à
enquêter sur des théorèmes élémentaires sur les triangles, les polygones, les
cercles, etc. Basé sur la forme discursive et intellectuelle, est né le fameux
théorème sur l’incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré et sur
l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du pentagone régulier.
La musique
pythagoricienne
La musique est aussi ancienne que l'homme et a
toujours été synonyme de mouvement. La danse et la musique semblent avoir une origine
commune et il est probable qu’à travers le chant et le rythme les hommes accompagnaient les cérémonies religieuses et les
rituels spirituels pour la guérison des malades. Comme pour les nombres, la
signification de la musique était différente de celle que nous avons
aujourd’hui. Cette signification est plus près de la façon dont les tribus amérindiennes ou africaines l’utilisent.
Pour eux la musique a le pouvoir de communiquer avec les dieux et les esprits ainsi
qu’une fonction curative.
En Grèce, la musique était
essentiellement vocale. Toutes les œuvres lyriques devaient être chantées de
manière obligatoire dans le théâtre et les jeux olympiques. Elle était
étroitement liée à la poésie et son rythme était déterminé par le rythme des
vers.
La musique instrumentale n’était pas comprise
de la même manière qu’aujourd’hui, elle servait à la parole et quand elle résonnait
créait une atmosphère rythmique d'accompagnement de la poésie (Dufourcq, 1963,
p. 13).
L'honneur revient à Pythagore d'être le
père de la musique en occident. Quelques auteurs s’ont d’accord, surtout les
pythagoriciens (Diogenes Laercio, Jámblico, Teón de Smyrne, Boecio), pour attribuer
à Pythagore la première expérience scientifique de l'histoire avec la quelle se
sont déterminés les premières lois quantitatives d'acoustique et le fondement
mathématique de l'harmonie musicale (González, 2006, p. 10). Cette découverte a
été réalisée à travers un appareil inventé également par Pythagore appelé : le
monocorde.
Avec cet instrument il a déterminé les longueurs de cordes selon les
intervalles harmoniques les plus importants. On l'appelle aujourd’hui le
sonomètre.
Le sonomètre est un instrument
utilisé dans la physique qui permet d'étudier certaines lois de la vibration
des cordes. Il comprend une boite en forme de prisme régulier qui agit comme un
résonateur, sur lequel deux ou trois cordes sont étendues; la tension des cordes
est réglée à travers des chevilles et sa longueur vibrante à travers des cales
mobiles qui s'introduisent entre la boite et la corde. Elles sont pourvues
d'une échelle imprimée dans le coté latérale qui permet de trouver rapidement
la moitié, le tiers ou d'autres fractions de la longueur vibrante totale des
cordes. En réglant la tension de l'une des cordes et en formant un unisson avec
l’autre, on peut obtenir l'intervalle donné facilement en plaçant la cale
mobile dans le lieu qui indique l'échelle. (Olazábal, 1954, p. 87)
Pythagore découvre qu’après avoir
appuyé ou après avoir divisé la corde à la moitié et en comparant le son avec
la corde libre, se produisait un son qu'aujourd'hui nous connaissons comme
l'octave musicale. Après avoir appuyé dans la moitié de la moitié c'est-à-dire aux
les trois quart de la corde le son qui résultait était la quarte musicale. Et
quand on divisait la corde en ses deux tiers on obtenait la quinte. Tous ces
sons sont reconnus comme consonances parfaites et sont les sons qui prédominent
une grand partie des systèmes musicaux du monde (Sagredo, 1997, p. 13).
Avec cette expérience Pythagore lia l'espace,
le nombre et le son au sein d'une relation harmonique. Ainsi il rattacha le
nombre à l'harmonie, la quelle était une partie de l'esthétique dont on jusqu’alors qu’ils ne présentaient pas de
similitude." (Parra, 1966, p. 106)
De
cette façon la musique a servi aux nombres, ou inversement peut-être, les
nombres ont servi à la musique, et grâce à cette relation on a pu justifier le
développement de ce que l’on connait aujourd’hui comme la proportion harmonique
et qui donnera ses bases à la théorie des moyennes.
À ce sujet nous pouvons ajouter :
L'une des grandes coïncidences de
l'histoire de la musique vient du fait que lorsque l’on applique ces relations
aux cordes tendues, elles produisent les relations basiques des intervalles
consonants. Si l’on avait découvert ou préféré d'autres relations musicales,
l'analogie entre la musique et le nombre n’aurait pas pu être dessinée avec
tant de simplicité; ou, pour le dire autrement, si ces relations numériques
simples ne s'étaient pas appliquées a la musique, tout le cheminement de notre
musique aurait pu être radicalement distinct. (Rowell, 1963, p. 50)
Et pour sûr, le chemin de notre culture aurait
changé aussi.
Après avoir mentionné la relation connue
comme la proportion, nous abordons une étape des mathématiques qui sera
décisive dans la conception de la science et l’art dans la culture occidental.
La Proportion
Matila Ghyka, dans son livre l'Esthétique des Proportions dans la Nature et dans les Arts,
introduit le deuxième chapitre De la
proportion avec la phrase suivante issu de Timée de Platon :
" Il est impossible de bien combiner deux choses sans une troisième car il
faut entre elles un lien qui les rassemblent. Il n’est pas de meilleur lien que
celui qui de lui-même et des choses qu’il unit fait un seul et même tout. Or
telle est la nature de la proportion ". (Ghyka, 1953, p. 22). Il définit ensuite
cette nature avec des termes appartenant à la Géométrie, la Mécanique et
l'Architecture :
Le segment déterminé ente deux
points est l'élément le plus simple auquel on puisse appliquer les idées de
mesure, de comparaison, de rapport. L’opération la plus simple introduisant ces
concepts est le choix d’un troisième point quelconque sur cette droite. On
passe ainsi de l’unité a la dualité, et l’on se trouve d’emblée en face de la
proportion. (1953, p. 22).
La proportion va s’exprimer dans la
nature comme une "croissance harmonique et l'équilibre" stable des
éléments qui la composent. Son importance dans les sciences (biologie, chimie, physique)
sera déterminante pour la déduction de lois et de théories. (1953, p. 118).
À
travers la proportion il mettra en évidence la Loi de l'Harmonie et de la rencontre des contraires
ou des opposés ainsi que la conception du cosmos pythagoricien. L'harmonie vers
laquelle la doctrine pythagoricienne s’orientait, consistait à expliquer à
travers des relations numériques les phénomènes naturels. Pour expliquer le
fait de l'Unité Universelle, qui était constituée des éléments contraires ou
opposés, l'harmonie réussissait à constituer un lien qui les unifiait au Premier
Un (un Dieu). Ce pourquoi, les pythagoriciens affirmaient que le nombre ou
l'harmonie est le principe de toutes les choses et que, donc, "l'Univers
est nombre et harmonie". (Une treille, 1966, p. 58)
L'harmonie était un symbole de l'ordre
universel qui unissait tous les niveaux du cosmos : les éléments basiques (la terre,
l’air, l’eau et le feu), l'homme et l'univers (le soleil, les planètes et la
lune). Aristote faisait référence aux doctrines pythagoriciennes de cette façon
: "Ils supposaient que les éléments des nombres étaient les éléments de
toutes les choses et que tout le ciel était une échelle et un nombre". (Rowell, 1963, p. 50)
Il semble que les pythagoriciens avaient une conception de l'âme humaine
"comme une relation numérique qui forme son corps harmoniquement ". (Une
treille, 1966, p. 143).
Pour les Grecs, l'harmonie servait comme
une puissante métaphorique de l'interdépendance de tous les éléments du monde
comme ils le connaissaient : la nature, les plantes, les animaux, l'espèce
humane, l'état, la terre et l'univers formaient une "chaîne d'être" en
continue.
Grace à ce concept surgit l'idée de microcosme et de macrocosme pour parler
de l'homme et de l'univers, ou de la nature, respectivement. Les deux étaient
dirigés par le même principe de nombre ou d'harmonie. (Rowell, 1963, p. 52)
Dans la communauté pythagoricienne il
existait une atmosphère mystique. Laquelle émanait d’une connaissance qui se
développait à travers la spéculation intellectuelle, sur la base de l'harmonie
mathématique et de la philosophie. Cette
spéculation apparaîtra dans les attributs mathématiques ou les topiques
pythagoriciennes comme la
Tetractys de la décennie, la portée mystique et le théorème du
triangle rectangle qui porte le nom de Pythagore.
La Tetractys
Comme nous y avons fait référence précédemment, les pythagoriciens ont
assigné aux nombres des propriétés vitales et spéciales. À l'intérieur de ce
symbole numérique le nombre dix avait une grande charge sacrée car il détenait
en lui, le secret et l'essence des dimensions géométriques, l'échelle musicale
et la représentation de l'univers.
La tetractys de la décade était un nombre
triangulaire composé par dix points disposés en forme de triangle équilatéral. (González,
2006, p. 7).
Cette disposition permettait
d'observer les quatre premiers nombres ou les unités dans l’ordre croissant (du
haut vers le bas) selon son emplacement : le un, le deux, le trois et le quatre
qui dans une addition formaient le dix.
Cet ordre identifiait aussi les quatre
éléments basiques de la géométrie : le point, la ligne, la surface et le solide
ou le volume. (Gajate, 1964, p. 15).
Un Deux Trois Quatre
Le Point La Ligne La
Surface (triangle) Le Volume
(tétraèdre)
Par rapport à la musique ces quatre
premiers nombres représentent les "proportions sonores ou les nombres
sonores" qui, comme nous l’avons mentionné précédemment, étaient des
consonances parfaites découvertes par Pythagore grâce au monocorde. Cela permet
d’obtenir les proportions suivantes (Gerulewicz, 2001, p.186).
Pour un la proportion 1:1 (l'un à l'un) qui
représente l'unisson.
Pour deux la proportion 2:1 qui représente l'octave.
Pour trois la proportion 3:2 qui représente la
quinte.
Pour quatre la proportion 4:3 qui représente
la quart.
En plus de posséder ces propriétés
numériques, géométriques et musicales la Tetractys supposait un ordre cosmique exposé par
les pythagoriciens. À ce sujet Philolaos disait que "le feu a été fixé au
centre en vertu de la Loi
de l'Harmonie Universelle, comme il générait le mouvement celui-ci s’étendait
du centre à la périphérie, en déplaçant les sphères, avec ses dix corps, dont
les préludes percevait Pythagore" (Parra, 1966, p. 97).
Cela se rapporte à l’importance qu’a eu la Tretractys de la décade
dans la configuration de l'univers. Selon Aristote dans Métaphysique, ceux-ci (les pythagoriciens) supposaient que les huit
corps célestes : la terre, la lune, le soleil et les cinq planètes connues (le
Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne) tournaient autour d'un Feu Central,
situé au centre de l'univers. On pensait des étoiles qu’elles étaient fixes et
faisaient partie d’une dernière sphère perçue comme un autre corps. Comme il manquait
un corps pour arriver à dix et pour être cohérents avec sa théorie, ils en
ajoutèrent un au système en le nommant anti-terre. Celui ci tournait aligné à la terre, dans une orbite
intérieure, et avec la même période quotidienne (González, 2006, p. 8).
Les sphères émettaient un son
correspondant à un ton de l'échelle musicale conformément aux rayons de ses
orbites, de la même manière que les cordes dépendaient de leur longueur. De ce
son dépendait les stations, les cycles biologiques et les rythmes de la nature.
Les pythagoriciens nommèrent cette doctrine l'Harmonie des Sphères (González,
2006, p. 11).
De par sa signification et son
importance symbolique, les pythagoriciens ne juraient qu’en la Tetractys et l’avaient désigné au cours de séances
comme une "source et une racine de la Nature éternelle" (González, 2006, p. 7).
La Portée Mystique.
La portée mystique pythagoricienne, pentalpha,
ou une étoile à cinq branches, pentagone, a été un autre des caractéristiques géométriques
les plus importantes étudiées par les pythagoriciens. On suppose que c'était un
symbole d'identification pour les membres de la communauté, en plus d'être un
emblème de la santé. Il existe différentes formes de construire géométriquement
la portée, etl'une de ses propriétés qui
attirait l’attention des pythagoriciens était son unicursalité :
"elle peut être tracée par le mouvement d'un point sans passer de deux
fois par le même côté".
L'une des manières de construire la portée est d’insérer dans un cercle un
pentagone régulier et d’en tracer les diagonales. Celles-ci se coupent en
formant des segments qui sont en proportion dorée. Le segment le plus grand est
égal au côté du pentagone (González, 2006, p. 16).
Cette
division du segment en parties proportionnelles a été un sujet fascinant pour
les pythagoriciens et il a donné lieu à d’importantes spéculations
philosophiques, théologiques, naturelles et esthétiques. Cette relation a eut
différentes dénominations : la Section Dorée, la Proportion Divine,
la Section Divine,
le nombre d’or. Euclide l'a définie dans Les
Éléments de la manière suivante : "on dit qu'un segment est dit coupé
en moyenne et extrême raison quand le grand segment obtenu est au tout ce que
le petit est au grand" (González, 2006, p. 16).
AC = BC
BC AB
Cette figure géométrique (la portée) et ses relations avec la diagonale
simple du carré furent la base de la découverte scientifique la plus importante
des pythagoriciens. Dans le même temps elle a été aussi la cause de la crise
profonde qui emmena cette communauté à la ruine, dans des profondeurs incommensurables.
Il est fort probable que le sujet
pythagoricien le plus populaire, le plus reconnu et qui a eu beaucoup de succès
soit le théorème du triangle rectangle.
Le
Théorème de Pythagore
Le triangle rectangle dont les côtés sont
proportionnels aux nombres 3,4 et 5 étaient connus par les Egyptiens et les
géomètres grecs comme : le triangle
sacré égyptien ou triangle parfait
mais aussi le triangle de Pythagore
(Ghyka, 1953, p. 60). Certains aspects du triangle ont été utilisés aussi par
les cultures Indiennes, Chinoises, Egyptiennes et dans la Mésopotamie, mais c’est
Pythagore le premier qui a réussi à donner une démonstration logique du
Théorème.
Pythagore a démontré avec sa théorie
des proportions que le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
BA2 + AC2 = BC2
Ce Théorème est devenu un paradigme pour
les mathématiques et pour son enseignement dans les écoles et universités du
monde entier. Il établi le premier saut intellectuel entre la spéculation
empirique et le domaine du raisonnement déductif (González, 2006, p. 16).
Les
Grandeurs Incommensurables.
Le Théorème de
Pythagore ainsi que le côté du pentagone avaient un grand inconvénient qui a
conduit la communauté pythagoricienne à une crise profonde qui de plus agita
fortement les bases de sa philosophie qui veut que : les nombres sont l'essence de l'univers. Après avoir établi la
relation entre le nombre et sa représentation géométrique et avoir cru que les
nombres pouvaient tout mesurer au travers de la géométrie, ils sont entrés en
discordance, après avoir découvert que dans une figure aussi
simple que le carré, la diagonale n'était pas commensurable avec le côté. Le
même cas de figure est arrivé entre la diagonale du pentagone et son côté.
Lors de cette découverte, toutes les
affirmations pythagoriciennes où l’on comparait les dimensions et les raisons des
figures, demeuraient dorénavant incertaines. Elles devaient être reformulées et
cela a donné lieu à certaines craintes quant à la découverte des nombres irrationnels.
Ces nombres étaient au-delà de la représentation pythagoricienne et ils
marquèrent une avance sans précédents dans l'histoire des mathématiques et de
la géométrie. Ils n’étaient pas un produit de l'empirique mais de quelque chose
purement théorique.
Cette inquiétude est illustrée dans une
légende pythagoricienne écrite par Euclide dans Les Éléments, au Xème livre :
On dit
que les gens qui ont divulgué les nombres irrationnels ont péri dans un
naufrage jusqu’au dernier, car l’inexprimable, l’informe, doit être absolument
tenu secret ; ceux qui l’ont divulgué et ont touché à cette image de la vie ont
instantanément péri et doivent rester éternellement ballottés par les vagues. (González,
2006, p. 17).
Sa découverte est attribuée à Hippase
de Métaponte vers 480 av. J.-C. après avoir essayé de retrouver à travers l’empirique
une unité qui pouvait mesurer, d'une manière exacte, la diagonale et le carré,
ou, la diagonale et le côté, du pentagone.
Les conséquences de cette première crise
des mathématiques ont été presque immédiates. D’abords, l'emploi du langage
mystique et mathématique, mélangé aux aphorismes religieux, a été changé par un
autre, plus sévère précis et rigoureux, qu’Euclide décrit dans Les Éléments. Puis, plus tard, est
apparu une crainte de l'idée de l'infini, dans les mathématiques grecques, après
Pythagore (González, 2006, p. 16).
L'influence
de Pythagore
Les apports de Pythagore à notre monde sont
innombrables, et il est même considéré comme le père des mathématiques, de la musique,
de l'esthétique et de l’acoustique. Toute son influence ne pourrait pas être abordée
dans ce travail. Cependant, nous essaierons d'exposer brièvement les aspects les
plus importants de son héritage tout au long de l'histoire occidental.
La philosophie pythagoricienne a réussi à
rattacher l'espace, le nombre et le son d’une manière harmonique, à travers la
contemplation mystique et rationnelle du cosmos, établissant que "le
nombre est l'essence de toutes les choses". Cela a conduit à rendre accessible une première connaissance
(empirique et rationnel) sur le fonctionnement de l'univers (du macrocosme et
du microcosme) pour inspirer et pour établir chez l'homme une pensée
scientifique pendant plus de 2500 ans.
Beaucoup d'autres aspects
de sa vie et de son œuvre ont été controversés pour être associé aux légendes,
aux fictions et au mysticisme, et plusieurs fois exagérés. De l’authenticité de
son existence aux aspects mystiques et secrets de sa doctrine (la doctrine de
la réincarnation et de la transmigration de l'âme, l'arithmologie, le
symbolisme des nombres, les acousma), il a été lié aux courants ésotériques de
traditions occultes, symboliques et magiques en Europe.
L'une des grandes
influences des pythagoriciens sur la philosophie grecque est relatée dans
l'œuvre de Platon. Le Timée, par exemple, parle en grande partie de
l'enseignement de la cosmogonie pythagoricienne. Dans le Xème livre de la République où il disserte sur l'Harmonie des Sphères, quelques-uns de ses
personnages sont des pythagoriciens très doués en mathématiques (Locride,
Lysis). La Théorie des Idées et celle
de la conception de l'âme ont aussi une influence pythagoricienne. Aristote
dans la Métaphysique (Parra, 1966, p. 87) mentionne les pythagoriciens en
faisant référence au principe des contraires (Parra, 1966, p. 87). Il se
pourrait qu’il leur ait dédié une œuvre qui plus tard a été perdue. Aristote, d’ailleurs, fait référence à Platon
: " Sa philosophie suit, dans la majorité des choses, celle des
pythagoriciens "(González, 2006, p. 20). Aristote et ses disciples en compagnie
d’Aristoxène de Tarente, ont
essayé de briser pour la première fois la tradition pythagoricienne, pour considérer
l'harmonie comme une science autosuffisante, dépendant seulement de l'oreille et de la compréhension (Palacios,
2001, p.154)
Dans la Rome
Impérial son influence a été reconnue dans l'œuvre de
Cicéron, Sénèque et Moderato de Cadix mais aussi de Philolaos, qui répandu et
systématisa la doctrine pythagoricienne ainsi que les pythagoriciens : Archytas de Tarente, Nicomaque de
Gerase, et aussi les biographes pythagoriciens : Porphyre, Jamblique
et Proclo. Vitruvio, auteur du premier livre sur l’architecture, mentionne
l'importance de la
Tretractys comme système
de proportion et la musique comme une contribution à la conception et la
construction d'œuvres architectoniques.
Au Moyen Âge l'influence de Pythagore est reprise par Boèce qui projette la
Musique Mondaine et inclut la notion de l'Harmonie des
Sphères dans le curriculum d'études médiévales. Saint Agustín revit également
la notion du nombre dans la philosophie médiévale. Le Quadrivium propose la
musique comme une branche insolite des mathématiques en compagnie de
l'astronomie, la géométrie et l'arithmétique. Un autre grand témoignage de
cette influence pythagoricienne devient évident dans la conception et
construction des grandes cathédrales gothiques ajustées aux proportions,
arithmétiques et géométriques de l'harmonie musicale. Les constructeurs ont
adopté et transmis à travers des confréries le rituel de la géométrie
pythagoricienne qui deviendra évidente dans le graphisme symbolique des
rosaces et vitraux gothiques (la portée mystique comme motif). Il serait
également pertinent de s’interroger sur la transmission des connaissances
pythagoriciennes à travers l'œuvre de Vitruve
ou à travers les sciences occultes.
Dans la Renaissance on reprend
la connaissance pythagoricienne d’une manière encore plus forte qui sera
décisif pour la conception de la pensée moderne : le modèle héliocentrique et
la philosophie du nombre. Ces deux doctrines seront reprises par les plus
importants penseurs de cette période.
Nicolas Copernic dans son œuvre De Revolutionibus Orbium Caelestium (Parra,
1966, p. 114) place le soleil comme le centre de l'univers tandis que le
mathématicien et philosophe Nicolas de
Cues traite de la conception moderne de l'espace. Cues en conclue que
l'activité la plus authentique de l'esprit est la mesure, et qu’elle détermine
la relativité du lieu et du mouvement contrairement à la position d'Aristote.
Pour Cues la localisation est idéale et relative, et le mouvement est relatif
et contraire à la nature de mobilté (Parra, 1966, p. 114).
Johannes Kepler découvre les trois lois
fondamentales sur lesquelles son fondées le mouvement des planètes autour du soleil (Parra,
1966, p. 114). Il établit ses recherches sur l'Harmonie des Sphères et explique
la théorie des intervalles musicaux à travers des orbites planétaires (Ghyka,
1953, p. 237). Galileo Galilei, qui a été promoteur de la méthode mathématique
- expérimental, suit la doctrine pythagoricienne du nombre en affirmant que
"toute la création est un livre écrit en langage mathématique" (Vallota,
1998, p. 142). Isaac Newton découvre et confirme la loi de la gravitation
universelle, les lois de Kepler et réalise aussi d'autres découvertes importantes.
Dans le domaine de l’architecture, León
Baptista Alberti et Andrea Palladio subissent l'influence pythagoricienne à
travers Vitruve et la tradition pythagoricienne en Italie. Tous les deux
répondent aux deux types de proportions exposées par Pythagore : les
proportions musicales dans la grandeur commensurable et la proportion divine
des mesures incommensurables. À ce sujet Alberti écrit dans De re Aedeficatoria:
Je dois soutenir d'une bonne
fois l'opinion de Pythagore dont la juste nature est en tout (…) et que les
nombres déterminants de la concordance des voix soient agréable aux oreilles,
ils sont exactement les mêmes qui enchantent notre regard et notre esprit.
(González, 2006, p. 21).
Le Corbusier reprendra ces
théories au XXe siècle et développera un système de proportions harmoniques
basé sur l'échelle humaine qui sera mis en place dans la conception de ses
constructions. Albert Einstein décrivait ce système par l’affirmation
suivante : "C’est une gamme de dimensions qui facilite ce qui est
bien et complique ce qui est mal" (Boesiger, 1982, p. 88).
L'influence de Pythagore est irréfutable
sur la culture occidentale. Il n'est pas possible de concevoir le XXème siècle
sans les contributions des mathématiques. Pedro González dans son article Biographie de Mathématiciens : Pythagore cite les grands philosophes du
XXème siècle : Whitehead et B. Russell placent à Pythagore comme
l'initiateur du Miracle grec. À ce
sujet Russell affirme : "Les mathématiques comme un argument déductif
démonstratif commencent avec Pythagore, en étant unies à une forme particulière
de mysticisme. L'influence des mathématiques sur la philosophie due à Pythagore,
a été depuis, très profonde" (González, 2006, p. 21).
21).
Cependant, cette
influence a été accentué dans la modernité grâce à l'ensemble d'événements parvenus
vers les années 1600 dont la caractéristique principale était l'application des
mathématiques dans les instruments et dans le calcul des grands voyages, la
notion de la représentation du nombre et une nouvelle manière d'interpréter la
connaissance contraire à la notion traditionnelle (Vallota, 1998, p. 142).
Actuellement la pensée Pythagoricienne
est une réalité et est totalement en vigueur dans la science des disciplines
sociales. L'homme par exemple, dépend de l'informatique dont la base est le
nombre et les processus mathématiques. La théorie des cordes ou théorie
unifiée, essaie de décrire tous les phénomènes arrivés dans la nature grâce aux
quatre forces fondamentales : la force gravitaire (quantique), la force
électromagnétique, la force d'interaction forte et faible. Tout cela a ouvert
des nouvelles recherches sur les champs de la physique et des mathématiques.
N'est-il pas question d'un élargissement de l'explication pythagoricienne de la
loi sur l'harmonie ? Du fonctionnement de l'univers en tant que macrocosme et
microcosme ? Dans des ecrits B.Russell dit d’ailleurs: "Peut-être que le
plus bizarre de la science moderne est son retour au pythagorisme"
(González, 2006, p. 21).
Pour conclure nous mentionnerons très
brièvement les apports de Pythagore développés dans ce travail: La conception
des mathématiques comme une science déductive, initiateur de la méthode
scientifique de recherche, la découverte des nombres irrationnels à travers la
grandeur incommensurable, le premier système héliocentrique, la découverte des
principes de l'acoustique et de l'harmonie en occident, une base pour le
système d'enseignement médiéval (Quadrivium), et le premier établissement
théorique sur un système de proportions.
Perspectives
de réflexion.
À partir des années 1700 une position
rationaliste a produit un effondrement inévitable du mythe, de même, la musique
a cessé d'être un outil "spéculatif" pour réaffirmer une tradition de
la musique "pratique", plus rattachée à l'art et à son propre
discours. La pensée rationaliste a utilisé les mathématiques comme un outil
indispensable pour ses démonstrations et spéculations sans nécessité une autre
discipline plus relative au mysticisme. La pensée scientifique, mystique et
religieuse de Pythagore était inconcevable face à cette nouvelle attitude.
L'homme moderne a réussi à
séparer ces domaines, dans une recherche du savoir et du contrôle de la nature.
Paradoxalement il a réussi à dominer la nature en l'interrogeant et en obtenant
d'elle ce dont il avait besoin, mais cependant, il se retrouve face à une crise
profonde. Il a trouvé également une énorme difficulté à rassembler ses
croyances et sa raison. Avec sa rationalité il se trouve seul, seul dans
l'univers, seul avec sa raison.
L'homme pourra-t-il réconcilier ces domaines
comme le pythagorisme l'a proposé une fois ? Ce fut la raison qui causa la
décadence du modèle pythagoricien est qui déclencha "l’horreur de
l'infini". Au fur et à mesure que la science avance et que l'homme domine
de plus en plus la nature, celui-ci s'éloigne d'elle en augmentant la solitude
de l'homme aux niveaux écrasants.
Le pythagorisme a projeté la
science comme une manière de réflexion et de rapprochement avec Dieu et la
nature. A mesure qu’il découvrait les lois qui la contrôlaient celui-ci
s’intégrait à elle, ou du moins, c’est ce qu’il prétendait. Face à cette
réalité la question se pose : l'homme pourra-t-il ne faire qu'un avec l'univers
?
Bibliographie
Alquimia y Simbolismo en las Catedrales. (2000).
Valencia: Nueva Acrópolis.
Aristóteles. (1972). Obras filosóficas: Metafísica. México: Los Clásicos, W. M. Jackson.
Boesiger, W. (1982). Estudio paperback: Le Corbusier. Barcelona: Gustavo Gili.
Caniff, P. (1998). Pitágoras:
Grandes iniciados. Madrid: Edimat Libros.
Curt Lange, F. (1993). Arquitectura y música: Venecia,
armonía de una ciudad, Revista Musical de
Venezuela. Caracas: Fundación Vicente Emilio Sojo, Consejo Nacional de la Cultura, 32 – 33, Pp. 257
–295.
Dufourcq, N. (1963). Breve historia de la música. México: Fondo de Cultura Económica.
Enciclopedia Barsa. (1980). México: Encyclopaedia Britannica Publishers,
inc.
Ferrater M. J. (2004). Diccionario de filosofía. Barcelona: Editorial Ariel.
Gajate, J. (1964) Historia
de la filosofía: vol. I Orígenes de la filosofía griega. Madrid.
Ghyka, M. (1953). Estética
de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Buenos Aires: Ed.
Poseidón.
Gerulewicz, G. (2001). Proporciones y música, Escritos: revista universitaria de arte y
cultura, Caracas: Escuela de Artes, Facultad de Humanidades y Educación, y
Dirección de Cultura de la Universidad Central de Venezuela, III Etapa,14,
Pp. 185 - 200
Olazábal, T. de (1954). Acústica musical y organología. Buenos Aires: Ricordi.
Palacios, M. (2001). Consonancia – disonancia en
Gioseffo Zarlino, un problema práctico - especulativo, Escritos: revista universitaria de arte y cultura, Caracas: Escuela
de Artes, Facultad de Humanidades y Educación, y Dirección de Cultura de la Universidad Central
de Venezuela, III Etapa,14. Pp. 153 -162
Parra L. M. (1966). Pitágoras: fundador de la ciencia matemática. Caracas: Biblioteca
de la Academia de Ciencias Físicas.
Platón. (1998). Diálogos.
México: Ed. Porrúa.
Rowell, L. (1963). Introducción
a la filosofía de la música. Barcelona: Gedisa.
Sagredo A. H. (1997). El núcleo melódico. Caracas: Fundación Vicente Emilio Sojo, Consejo
Nacional de la Cultura.
Vallota, A. (1998). Las matemáticas y el nacimiento de
la modernidad, Apuntes filosóficos. Caracas:
Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico y Escuela de Filosofía de la Universidad Central
de Venezuela, 13, Pp. 131 – 150.
Vitruvio, M. L. (1997). Los diez libros de arquitectura. Madrid: Alianza Forma.
Astrocosmo.[Consulta: julio, 2006]. La
unificación de la gravedad: de la teoría de las cuerdas [Documento en línea].
Disponible: http://www.astrocosmo.cl/h-foton/h-foton-12_05-03.htm
